juros

Juros simples e compostos

Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conceitos básicos

    A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

     Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
 

    Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
   

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

       O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

     Quando usamos juros simples e juros compostos?

    A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

     Taxa de juros

    A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

    Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

     O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

        Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

    Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

   Montante = Principal + Juros
   Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

    Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

    SOLUÇÃO:
    M = P . ( 1 + ( i . n ) )
    M = 70000 [1 + ( 10, 5 / 100 ) . ( 145 / 360 ) ] = R$72 960,42

    Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

   Exercícios sobre juros simples:

   1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

    0,13 / 6 = 0, 02167
    logo, 4m15d = 0, 02167 x 9 = 0, 195

    j = 1200 x 0, 195 = 234

     2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

    Temos: J = P . i . n
    A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
    Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:

    J = 40000 . 0, 001 . 125 = R$5000,00

     3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

    Temos imediatamente: J = P . i . n ou seja: 3500 = P . ( 1, 2 / 100 ) . ( 75 / 30 )
    Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,

    3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030;

Daí, vem:
    P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

    4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

   Objetivo: M = 2.P
    Dados: i = 150/100 = 1,5
    Fórmula: M = P (1 + i . n)
    Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)

2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

     Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

 Após três meses de capitalização, temos:

    1º mês: M = P . ( 1 + i )
    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

    Simplificando, obtemos a fórmula:
  

M = P . (1 +  i)n

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
  

J = M - P

    Exemplo:

   Calcule o montante de um capital de R$6 000, 00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
  (use log 1,035 = 0,0149 e log 1,509 = 0,1788)

   Resolução:

   P = R$6 000,00
    t = 1 ano = 12 meses
    i = 3,5 % a.m. = 0,035
    M = ?

      Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:

   M  =  6000.(1+0,035)¹²  =  6000. (1,035)¹²
    Fazendo  x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos:

   log x = log 1,035¹²    =>   log x = 12 log 1,035    =>   log x = 0,1788    =>   x = 1,509

   Então  M = 6000.1,509 = 9054.

    Portanto o montante é R$9.054,00

Relação entre juros e progressões

    No regime de juros simples:

    M( n ) = P + n r P

    No regime de juros compostos:
    M( n ) = P . ( 1 + r ) ⁿ

    Portanto:

• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
• num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

TAXAS EQUIVALENTES

    Duas taxas i₁ e i₂ são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i_a .
• O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i _a )
• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i_m .
• O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + i_m)¹² .

    Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

    Portanto, P(1 + i_a) = P(1 + i_m)¹²

    Daí concluímos que 1 + i_a = (1 + i_m)¹²

    Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

    Exemplos:

    1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

    Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i_a = (1 + i_s)²
    1 + i_a = 1,08²
    i_a = 0,1664 = 16,64% a.a.
   

    2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

    1 + i_a = (1 + i_m)¹²
    1 + i_a = (1,005)¹²
    i_a = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAIS

    A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.

    Exemplo:

     Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

    15/12 = 1,25                    1,0125¹² = 1,1608

  
TAXAS EFETIVAS

    A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.

    Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

FLUXO DE CAIXA

    O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

      Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. 

VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO

    Na fórmula M = P . (1 + i)ⁿ , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). 

    Então essa fórmula pode ser escrita como 

    FV = PV (1 + i) ⁿ 

    Isolando PV na fórmula temos:

    PV = FV / (1+i)ⁿ

    Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

    Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

    Exemplo:

    Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1 500,00 a 2% ao mês?
    Solução:

         FV = 1500 . (1 + 0,02)¹² = R$ 1 902,36

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/finan5.php

PEDAGOGIA DO OLHAR RUBEM ALVES