Matemática.: Mariza Roberto: outubro 2013

Operações com números racionais decimais

FONTE: ( http://www.somatematica.com.br/index2.php)

Adição
    Considere a seguinte adição:
        1,28 + 2,6 + 0,038
    Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos:

1,28 + 2,6 + 0,038	35,4 + 0,75 + 47	6,14 + 1,8 + 0,007

Subtração
    Considere a seguinte subtração:
        3,97 - 2,013
    Transformando em fração decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais.

Exemplos:

3,97 - 2,013	17,2 - 5,146	9 - 0,987

Operações com números racionais decimais

Multiplicação
Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5
Transformando em fração decimais, temos:

Método prático

Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores.

Exemplos:

3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

    Observação:
   1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo:                                                                 5 · 0,423 = 2,115
   2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos

0,05 =

= 5%

1,17 =

= 117%

5,8 = 5,80 =

= 580%

Operações com números racionais decimais

Divisão
      1º: Divisão exata
        Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05
        Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Suprimimos as vírgulas;
3º) Efetuamos a divisão.

Exemplos:

1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais:	1,40	:	0,05
Suprimindo as vírgulas:	140	:	5

Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.

Efetuado a divisão

6 : 0,015

Igualamos as casas decimais	6,000	:	0,015
Suprimindo as vírgulas	6.000	:	15

Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.

Efetuando a divisão

4,096 : 1,6

Igualamos as casas decimais	4,096	:	1,600
Suprimindo as vírgulas	4.096	:	1.600

Efetuando a divisão

Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.

Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos.

O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo.

Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.

Operações com números racionais decimais

0,73 : 5

Igualamos as casas decimais	0,73	:	5,00
Suprimindo as vírgulas	73	:	500

Efetuando a divisão

Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero à direita do três. Assim:

Continuamos a divisão, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.
Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. Exemplos:

2,346 : 2,3

Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor (2.300). Colocamos, então, um zero no quociente e acrescentamos mais um zero ao resto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.

Observação:
Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

Operações com números racionais decimais

2º : Divisão não-exata

No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso.

Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4.
Logo:

Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que:

3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade.
4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.

Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que:

3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo.
3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo.

Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:

Podemos afirmar que:

3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo.
3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo.

Observação:

As expressões têm o mesmo significado:

- Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos.
- Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente.

2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos:

                13 : 7 = 1,8     (aproximação de décimos)
                13 : 7 = 1,85   (aproximação de centésimos)
                13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)

Cuidado!

No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal aproximação. Exemplo:
O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é

Operações com números racionais decimais

Representação Decimal de uma Fração Ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

Converta em número decimal.

Logo,

é igual a 0,75 que é um decimal exato.

Converta em número decimal.

Logo,

é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.

Converta em número decimal.

Logo,

é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.

Dízima Periódicas

Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo:

= 0,333...

= 0,8333...

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

= 0,555... (Período: 5)

= 2,333... (Período: 3)

= 0,1212... (Período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

= 0,0222...
Período: 2
Parte não periódica: 0

= 1,15444...
Período: 4
Parte não periódica: 15

= 0,1232323...
Período: 23
Parte não periódica: 1

São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Observações

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

0,555... ou ou	0,0222... ou ou
2,333... ou ou	1,15444... ou ou
0,121212... ou	0,1232323... ou

Operações com números racionais decimais

Geratriz de uma Dízima Periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação de uma dízima:
Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima composto

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma

, onde:

n

parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica.
d

tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.

Exemplo:

12,53262626... = 12 + 0,53262626... =

Operações com números racionais decimais

   Potenciação
   As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim:

(3,5)² = 3,5 · 3,5 = 12,25	(0,64)¹ = 0,64
(0,4)³ = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064	(0,18)⁰ = 1

Raiz Quadrada
A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim:

Expressões Numéricas

No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários.
Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo: